อนุกรมสลับ (Alternating Series)

อนุกรมสลับ (Alternating Series)

          อนุกรมสลับ คือ อนุกรมที่มีเครื่องหมายสลับกันไปมา  ระหว่าง บวก และ ลบ  ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูป  

                                                 

การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรมสลับ

      พิจารณาอนุกรมสลับซึ่งอยู่ในรูป 

อนุกรมสลับนี้จะลู่เข้าถ้าเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทั้งสามข้อ

1. สำหรับทุกค่า  n

  2.    สำหรับทุกค่าสำหรับบางจำนวนเต็ม n (ต้องเป็นลำดับลดนั่นเอง)

    3. 

ตัวอย่างของอนุกรมสลับ เช่น

การทดสอบการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ และแบบมีเงื่อนไข  (Absolutely Convergence  / Conditionally Convergence)

       สามารถนำไปใช้ได้ทั้งอนุกรมที่มีแต่พจน์ที่มีค่าไม่เป็นลบและอนุกรมสลับ  แต่ในที่นี้จะอ้างแต่อนุกรมสลับ เนื่องจากเรามีการตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมที่มีค่าไม่เป็นลบอยู่แล้ว

1. อนุกรมสลับ  ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ ลู่เข้า

2. อนุกรมสลับ ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อ ลู่เข้าแต่ลู่เข้า

ทฤษฎีบท 1

กฎของไลบ์นิตซ์ (Leibnitz’s rule)

ถ้าลำดับ{an}มีลิมิตเท่ากับ 0 และ an > an+1

สำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n แล้วอนุกรมสลับ

ตัวอย่าง 1

1.1. จงแสดงว่าอนุกรมสลับฮาร์โมนิค (alternating harmonic series)

เป็นอนุกรมลู่เข้า

วิธีทำ : เนื่องจาก

ดังนั้น อนุกรมนี้ ลู่เข้า

       

1.2. จงแสดงว่าอนุกรมสลับ

 เป็นอนุกรมลู่เข้า

วิธีทำ : เนื่องจาก  

          

ดังนั้น อนุกรมนี้ลู่เข้า     

ทฤษฎีบท 2

           ถ้าอนุกรม ลู่เข้า จะได้ว่าอนุกรม ลู่เข้า 

ข้อความแย้งสลับที่ของทฤษฎีบทนี้คือ “ถ้าอนุกรม

 ลู่ออก แล้ว จะได้ว่าอนุกรม ลู่ออก ”

ข้อสังเกต

      ถ้าอนุกรม ลู่เข้า จะไม่สามารถสรุปเกี่ยวกับอนุกรม ได้ว่าอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก จากตัวอย่างที่ผ่านมาจะพบว่า  

1. อนุกรมสลับฮาร์โมนิคลู่เข้า

แต่อนุกรมฮาร์โมนิคลู่ออก

2. อนุกรมสลับ ลู่เข้า และอนุกรมลู่เข้า

นั่นคือ ถ้าอนุกรมลู่เข้าจะยังไม่

สามารถสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรม

ได้ว่าอนุกรมลู่เข้า หรือ 

 บทนิยาม 2

         สำหรับอนุกรมใดๆ จะกล่าวว่า

1. อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์  เมื่อลู่เข้า

2. อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข เมื่อลู่เข้า และลู่ออก

       สรุปได้ความว่า ถ้าอนุกรมลู่เข้า จะได้ว่าอนุกรมลู่เข้าด้วย  ดังนั้น อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ สรุปได้ว่า ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์(เพราะทั้งและลู่เข้า)

       ในทางกลับกัน ถ้าอนุกรมลู่เข้าเราไม่

สามารถสรุปเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมได้ว่าอนุกรมลู่เข้า หรือ ลู่ออก แต่ถ้าอนุกรมลู่เข้า เราจะได้ว่าทั้งอนุกรมและลู่เข้า เราจึงกล่าวว่า อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์

       ส่วนอีกกรณีหนึ่งคือ อนุกรมลู่เข้า แต่

อนุกรมลู่ออก เราจะกล่าวว่า อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

ยกตัวอย่าง เช่น

2.1. อนุกรมลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

ทั้งนี้เพราะว่า อนุกรมลู่เข้า แต่
อนุกรมเป็นอนุกรมลู่ออก
2.2.  อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์  

ทั้งนี้เพราะว่า อนุกรมลู่เข้า แต่

อนุกรม ก็เป็นอนุกรมลู่เข้า

 แบบฝึกหัด

 1. จงแสดงว่าอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ 

วิธีทำ : เนื่องจากสำหรับ

            ทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

ดังนั้นสำหรับทุกๆ จำนวนเต็มบวก n

และเนื่องจาก เป็นอนุกรมพีที่ลู่เข้า

ดังนั้นอนุกรมลู่เข้า

นั่นคืออนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์